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基于分离信源信道码的相关信源在有噪广播信道下的可靠和安全传输

文档作者：郎非1 王保云1,2 邓志祥1 文档来源： 1. 南京邮电大学通信与信息工程学 2. 东南大学移动通信国家重点实验室		点击数：	更新时间： 2021年04月06日
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2013 年10 月 Journal on Communications October 2013
第34 卷第10 期 通 信 学 报 Vol.34 No. 10
基于分离信源信道码的相关信源在有噪广播信道下的可靠和安全传输
郎非1，王保云1,2，邓志祥1
（1. 南京邮电大学 通信与信息工程学院, 江苏 南京 210003; 2. 东南大学 移动通信国家重点实验室, 江苏 南京 210096）
摘 要：从信息论的角度对相关信源在离散无记忆广播信道下可靠和安全传输的问题进行研究。2 个信源经过有
噪信道分别到达各自指定的目的节点并被无损恢复，同时还要保证信源信息对于非指定的目的节点要有一定的保
密性。采用信源信道分离的随机码策略，得到相关信源在一般广播信道下能够可靠和安全传输的充分条件。当2
个信源的公共信息为二者的互信息时，可获得最佳压缩传输效率，并且能够做到信源信息传输的部分绝对保密。
当广播信道采用退化信源集或满足more capable 广播信道性质时，得到了可靠和安全传输的充分必要条件，此时
分离信源信道码为最优码。
关键词：分离信源信道码；安全传输；广播信道；疑义度；香农理论
中图分类号：TN911.22/TN911.21 文献标识码：A 文章编号：1000-436X(2013)10-0017-11
Secure lossless transmission of correlated sources over noisy broadcast
channel using separate source-channel coding
LANG Fei1, WANG Bao-yun1,2, DENG Zhi-xiang1
(1. College of Communication and Information Engineering, Nanjing University of Posts and Telecommunications, Nanjing 210003, China;
2. National Mobile Communications Research Laboratory, Southeast University, Nanjing 210096, China)
Abstract: The problem of secure transmission of correlated sources over broadcast channel was studied from the perspective
of information-theoretic security. Each source is only for its intended receiver, but to be kept secret from the unintended
receiver. Sufficient condition was provided for secure transmission of correlated sources over broadcast channels
from separate source-channel coding perspective. If the mutual information was chosen as common information, optimal
compression and partial perfect secrecy were both achieved for two correlated sources. Sufficient and necessary conditions
were provided for two special cases: a broadcast channel with degraded source sets and a more capable broadcast
channel, and thus it could be seen that the separate source-channel code is optimal.
Key words: separate source-channel coding; secure communication; broadcast channel; equivocation; Shannon theory
1 引言
传统技术实现安全保密通信是通过对明文加密
来实现的。收发双方会共享一个密钥，而窃听者是
不知道密钥的。这种传统加密系统面临如下问题[1]：
理论上无线网络中的窃听者可以拦截任何信息，包
括密钥本身；具有主动攻击特性的窃听者能够干扰
合法用户之间的信息传输，使得传输质量下降；复
杂网络的密钥管理分配非常困难。1948 年，香农开
创性地借助信息论(information theory)证明得到了
一个惊人的结论：如果密钥的长度不小于明文的长
度，则可实现绝对保密(perfect secrecy)。之后Wyner、
Csiszár和Körner等人[2]在没有使用密钥的前提下，
证明了在窃听信道或广播信道(BC)下安全通信是
可能的。基于上述先驱们的工作，形成了信息理论
安全(information-theoretic security)最基本的理论。
收稿日期：2013-06-05；修回日期：2013-08-06
基金项目：国家自然科学基金资助项目(61271232, 60972045, 61071089)；东南大学移动通信国家重点实验室开放研究基金资
助项目（2012D05）
Foundation Items: The National Natural Science Foundation of China (61271232, 60972045, 61071089); The Fund for National
Mobile Communications Research Laboratory of Southeast University (2012D05)
doi:10.3969/j.issn.1000-436x.2013.10.003
·18· 通 信 学 报 第34 卷
采用这种方法可以从本质上克服传统加密系统的
上述缺陷，并且即使窃听者具有无限的计算资源，
其安全容量也不会受到任何影响。近些年来，随着
无线终端设备的普遍使用，开放的无线媒介易被非
法用户侵入特质，使得无线通信安全问题被日益关
注。2008 年之后，越来越多的信息理论学者开始重
新关注信息理论安全这一研究方向[3~10]。
基于信息理论方法实现信息安全传输的基本思
想：由于信道噪声以及衰落引起信道特性的波动，
使得物理层信道产生固有的随机性，利用合法接收
者与窃听者所接入信道的随机性不同来实现合法用
户之间信息或部分信息的安全传输。例如，信息的
发送者可以有意地在原有信息的基础上增加随机信
息，在保证合法用户接收信息不受影响的同时，能
够阻止窃听者截获有效信息。Csiszár和Körner[2]早期
研究的广播信道只含1 个公共消息和1 个保密消息。
近些年来，Liu等人[9]率先对含有2 个保密消息的广
播信道进行研究，并给出了安全容量区域的内界和
外界。紧接着，Xu等人[10]对于这一模型进一步推广，
给出了含有2 个保密消息和1 个公共消息的广播信
道的速率——疑义度区域的内界和外界。
相关信源传输问题最早起源于无噪网络，有2 个
著名的分布式信源编码的例子。1)相关信源的分离编
码，即著名的Slepian-Wolf编码[11]。这里的分离编码
指相关信源经过压缩映射为2 个消息集合，再分别经
过两路无噪信道到达同一接收端。该编码方案得到一
个令人惊讶的结果：当两路信道所能承载的码率不小
于2 个信源的联合熵时，则在接收端能够同时无损恢
复2 个信源。2)Gray-Wyner 系统[12] ，该模型对
Slepian-Wolf模型进行了推广，双信源经过3 路无噪信
道到达2 个接收端。其中一路为公共信道，能同时到
达2 个接收端，其余两路为私人信道，分别到达2 个
不同的接收端。Gray和Wyner最先给出该模型系统的
可达速率区域，并证明了当公共信道能够被最大限度
地使用时，可以得到最优码。近期针对Gray-Wyner
系统，Timo等人[13]给出当接收端有边信息时信源码率
的内界和外界， Kamath 等人[14] 则对该系统的
Gács-Körner公共信息对偶性质进行了研究；Tandon
等人[3]将这一问题扩展到N个接收用户，并考虑不同
用户之间的信息保密。
相关信源在有噪广播信道下传输的问题由Han
和Coast[15]首先提出，Tuncel在2006 年将Slepian-
Wolf码扩展到有噪广播信道，他们均使用“联合信
源信道编码”得到可达界[16]。在这之后其他人[17~22]
所提出的编码方案也都是基于联合编码，好像从一
开始就没有考虑使用“分离信源信道编码”。这主
要因为“香农信源信道分离定理”[23]揭示了对于多
用户信道，信源与信道分开独立进行编码在很多情
况下得不到最优解。而联合编码将传统的信源编码
器与信道编码器整合为一个编码器，直接将信源映
射为码字进行发送，不再有信源映射为消息、消息
再映射为码字这样“分离”的2 个过程。对于多址
信道(MAC)，联合编码可以利用不同接入节点之间
的信源相关性提高节点之间的协作通信能力。对于
分离编码，由于消息和码字彼此是独立的，这反而
浪费了信源相关性这一特质，使得编码效率降低。
对于广播信道，只要不涉及节点之间的协作，似乎
使用分离编码没有那么糟糕。但是作者仍然注意到
联合编码在整合信源和信道的统计分布特性方面
非常方便。
本文研究离散无记忆的2 个相关信源在有噪广
播信道下可靠和安全传输的问题，如图1 所示，这
一问题相当于对前面有关信道安全、分布式信源编码
和信源信道编码等问题进行了扩展。本文仍然使用
传统的分离信源信道编码策略，并结合叠加码[23]、
double binning [9]和安全速率划分[10]等技术，使得传
输的可靠性与安全性得到保证。对于可靠性来说，
通过引入Gray-Wyner系统，明确相关信源中不同信
息种类的概率关系，划分一类公共消息M0和二类私
人消息M1和M2，如图2 所示。通过优化三类信息
的概率分布关系，使得信源编码与信道编码的2 个
过程在结合之后能够得到一个比较高效的编码。对
图1 分离信源信道编码的广播信道模型
第10 期 郎非等：基于分离信源信道码的相关信源在有噪广播信道下的可靠和安全传输 ·19·
于安全性来说，首先，通过引入辅助变量V调整信
源输出的概率关系，使得消息M0、M1和M2三者之
间相互独立，这能够有效地防止不同消息之间的信
息泄露；其次，分离编码本身能够做到消息和发送
码字独立，这使得信道本身的安全容量不会受到信
源相关性的影响而降低，这也是分离编码相比较联
合编码的优势。
图2 Gray-Wyner 信源编译码系统
基于上述思想，本文得到了如下结论：1)相关
信源在一般广播信道(general BC)下可靠和安全传
输的充分条件；2)当相关信源的公共信息为二者互
信息时，可获得最佳的压缩传输效率，并在一定条
件下传输可做到部分绝对保密；3)退化信源集
(degraded source set)在一般广播信道下可靠和安全
传输的充分必要条件；4)相关信源在more capable
广播信道下可靠和安全传输的充分必要条件。以上
4 条结论及其部分证明在本文的第3 节中进行表述，
其中，结论1)的充分性证明和结论3)的必要性证明
分别在附录A 和附录B 中进行表述。
2 基本定义和相关工作
本文符号标记规则：斜体大写字母表示随机变
量，如X；斜体小写字母表示随机变量的一个实例，
如x；Xn和xn表示分组长度为n的随机变量序列及其实
例； 1, 1
j
i X + 用于表示1 1 1 2 1 ( , , , ) i i j X X X + +  ，其中，第一
个下标“1”标识变量的名称，如X1, X2等，i和j指单
个变量在变量序列中的序号； 1
X i 表示 11 (X ,
12 1 , , ) i X  X ，变量实例写法亦如此；随机变量X的取
值集合称为字母集，用表示。随机变量之间的
Markov关系p(x)p(x|y)p(z|y)的简化表示为X→Y→Z，可
以推出X←Y←Z也成立，也可以用合并方式表达X－Y
－Z。本文使用ε ,ε ′ >0专门来表示一个小的固定值，
且ε ′ <ε>0表示ε 的函数，并当ε →0时，
δ (ε )→0。 0 n ε ≥ 为n的函数，当n → ∞ ， 0 n ε → 。
2.1 问题定义
首先给出通信模型的基本定义，分为信源和信
道两部分。
Gray-Wyner 系统如图2 所示， 由六元组
( ) GW  , , f ,,, 1 2 0 1 2 来表示。1 2 ( , ) 指信源字
母集， 0 1 2 (,,)是消息字母集。双信源经过三
元编码器组GW f 映射输出3 个消息。
0 1 2 1 2 ( , , ) ( n , n )
GW m m m = f s s
离散无记忆的双信源序列1 2 1 2 (sn , sn )∈(n ,n )，每一对
变量都独立同分布，概率分布满足
1 2 1 2
1
( , ) ( , )
n
n n
i i
i
p s s p s s
=
= Π
信源消息0 1 2 0 1 2 (m ,m ,m )∈( ××)。
信源消息0 1 2 (m ,m ,m )经过信道编码器g映射输
出信道消息。
0 1 2 0 1 2 (w ,w ,w ) = g(m ,m ,m )
0 1 2 0 1 2 (w ,w ,w )∈(,, )。一般来说信道消息彼此
要求独立，而对于信源消息没有这个要求。
广播信道由七元组1 2 1 2 (, p,, , f ,ψ ,ψ ) 来表
示，是信道输入字母集，1和2是信道输出字母
集，p是广播信道的转移概率p(y1,y2|x)，f为信道编
码映射函数，Ψ1和Ψ2为2 个译码映射函数。假设信
道是离散无记忆的。
1 2 1 2
1
( , | ) ( , | )
n
n n n
i i i
i
p y y x p y y x
=
= Π
1 1 2 2 yn ∈n , yn ∈n , xn ∈n。令0为公共消息集，1
为接收者1 的私人消息集，2为接收者2 的私人消
息集。编码器f由转移概率p(xn|w0,w1,w2)来定义，概
率p增加了码字xn的随机性，增加的随机信息独立于
消息，其分布属性2 个接收者都知道，只是不能确
定哪一个xn作为发送码字。2 个译码器定义为如下
两组映射：
Ψ1： 1 0 1 0 1 1 n →(,)→(,)→n
Ψ2： 2 0 2 0 2 2 n →(, )→(,)→n
定义1 当发送信源为1 2 (sn , sn )时，分组长度为n
的序列的译码错误概率定义为
1 2 1 2
( )
1 2 1 2 1 1 2 2
( , ) ( , )
( , ) (( , ) ( ( ), ( ))
n n n n
n n n n n n n
e
s s
P p s s p s s ψ y ψ y
∈
= Σ ⋅ ≠
(1)
当 n 足够大且 (n)
e P ≤ε 时，则认为 n 长序列实现了
可靠传输。
定义2 对于接收者2，信源1
Sn的保密等级（安
全性水平）用疑义度
S1 E 来定义
1 1 2
1 ( n | n )
S E
H S Y
n
≤ ，(同理有
2 2 1
1 ( n | n )
S E
H S Y
n
≤ (2)
·20· 通 信 学 报 第34 卷
由定义2 还可以引出如下新的定义。
1) 保密信息容量：
1 1 CS = max ES ，
2 2 max S S C = E 。
2) 绝对保密：
1 1 ( ) S C = H S ，
2 2 () S C = H S 。
3) 部分绝对保密：
1 1 2 ( | ) S C = H S S ，
S2 C =
2 1 H(S | S )。
定义3 信源(S1, S2)被允许经过广播信道传输需
满足如下条件，当码字长度n足够大时，
1 2
( )
1 2 2 1
n , 1 ( n | n ), 1 ( n | n )
e n S S P E H S Y E H S Y
n n
<ε 满足这样条件的信源集合被称为允许信源区="满足这样条件的信源集合被称为允许信源区" source="source" 平ε和安全性水平ES1="平ε和安全性水平ES1" ES2="ES2" 对Han和="对Han和" 定义4="定义4" 存在一个满足某一限定条件的信源信道="存在一个满足某一限定条件的信源信道" _x005F_x0032_.2="2.2" 证明使用的相关引理="证明使用的相关引理" 本节给出联合典型序列的概念和证明要使用="本节给出联合典型序列的概念和证明要使用" xn="xn" yn="yn" 在="在" _x005F_x0031_="1" n="n" T="T" XY="XY" x="x" y="y" a="a" b="b" p="p" ε="ε" 中的联合典型="中的联合典型" 引理="引理" 和="和" 假设X="假设X" un="un" _x005F_x0030_="0" u="u" XYU="XYU">< I (X;Y |U) −δ (ε )。
引理3 （费诺不等式） 离散无记忆信道的码
书为，且输入消息W服从集合｛1,2,…,2nR}上的均
匀分布，则有 ( | ˆ ) 1 (n)
e H W W P nR + ≤ 。 ˆW 是在信道
接收端对W的估计， (n) Pr( ˆ )
e P
= W ≠W 。
引理4 （数据处理不等式）若X－Y－Z 构成
Markov 链，则有I(X;Y)≥I(X;Z) 或I(Z;Y)≥I(X;Z)。
3 主要贡献
3.1 节中给出本文的主定理，即定理1，其是针
对一般的信源与信道条件而得到的可靠和安全传
输限制条件。后面3 个小节（3.2 节、3.3 节、3.4
节）分别考虑几种特殊情况，其中，定理2 是在考
虑双信源的公共信息满足一定条件下得到的一个
较优结果；定理3 则考虑双信源是退化信源集时得
到的一个最优结果；定理4 是在考虑广播信道满足
“more capable”条件下得到的一个最优结果。
3.1 相关信源可靠性和安全性传输的限制条件
定理1 辅助变量(V, U0, U1, U2)∈×0×1×
2满足如下Markov链
1 2 S −V − S (4)
0 1 2 1 2 U −U U − X −YY (5)
信源(S1,S2)经过广播信道p(y1,y2|x)，到达各自的接
收端。系统满足可靠性和安全性传输的充分条件为
1 2 0 1 0 2
1 1 2 1 1 0 0 1 0 2
2 1 2 2 2 0 0 1 0 2
1 1 2 1 2 1 1 0 2 2 0
( , ; ) min{ ( , ), ( , )} (a)
( | ) ( , ; ) ( ; | ) min{ ( , ), ( , )} (b)
( | ) ( , ; ) ( ; | ) min{ ( , ), ( , )}(c)
( | ) ( | ) ( , ; ) ( ; | ) ( ; |
I S S V I U Y I U Y
H S V I S S V I U Y U I U Y I U Y
H S V I S S V I U Y U I U Y I U Y
H S V H S V I S S V I U Y U I U Y U
<
+ < +
+ < +
 = + + < +
1 2 0 1 2 1 2
1
2
,
1 2 0 0 1 0 2
1 1 0 1 2 2 0 1
2 2 0 2 1 1 0 2
)
( ; | ) min{ ( , ), ( , )} (d)
min{ ( ; | ) ( ; , | ), ( | )} (e)
min{ ( ; | ) ( ; , | ), ( | )} (f )
S V S U U U X Y Y
S
S
I U U U I U Y I U Y
E I U Y U I U Y U U H S V
E I U Y U I U Y U U H S V
− − − − −
 
 
 
 
   − 
 +   
 − 
 
 − 
≤
≤
 (6)
第10 期 郎非等：基于分离信源信道码的相关信源在有噪广播信道下的可靠和安全传输 ·21·
1即为充分条件所界定的可达允许信源区域。
其中，
S1 E 和
S2 E 表示允许信源区域的疑义度（安全
性）水平，以
S1 E 为例，考虑以下2 种情况：
1) 当S1满足1 1 1 0 H(S |V ) > I (U ;Y |U ) − 1 2 I (U ;Y ,
2 0 U |U )时，则疑义度水平
S1 E 恒等于信道安全容量
1 1 0 1 2 2 0 ( ; | ) ( ; , | ) S C = I U Y U − I U Y U U 这一固定值；
2) 当S1 满足1 2 1 1 0 1 H(S | S )≤I (U ;Y |U ) − I (U ;
2 0 Y |U )时，则
S1 E 等于H(S1|V)。
从编码设计的角度，期望允许信源区域尽可能
大，即不等式(6a)~(6d)左半部信源压缩界越小越好；
而右半部信道可达速率界越大越好。允许信源区域
的计算结果，取值于所有符合Markov链式(4)和式(5)
的联合概率分布。两条Markov链式(4)和式(5)彼此
是独立的，即将信源与信道概率分布完全独立开
来，这是由分离编码设计决定的。辅助变量V与S1,S2
均相关，可看作是S1和S2的公共信息。U0代表信道
传输的公共信息，而U1和U2代表信道传输的私密信
息，有一定的保密性要求。
证明 见附录A。
对于定理1 考虑一种简化情况，即信道“无噪”，
并且在没有安全性约束的条件下定理1 会退化为
Gray-Wyner界[12]。
1 2
0 1 2
1 1
( | , )
2 2
( , ; )
( | )
( | )
G W
p v s s
R I S S V
R H S V
R H S V
−
 
=    
 
 
≥
≥
≥
  (7)
式(7)中假设三路无噪信道（一路公共信道和二
路私人信道）所能承载的码率分别为R0、R1、R2。
3.2 公共信息对信源压缩率和疑义度的影响
在Gray-Wyner系统中（如式(7)所示），代表公
共信息的辅助变量V的概率分布特性不仅会影响双
信源的压缩效率，而且会影响疑义度水平（如式
(6e)、式(6f)所示)。根据定理1 和Gray-Wyner界（式
(7)）得到如下3 个推论，其中，满足推论1 可以得
到双信源的最佳压缩率，而满足推论2 和推论3 条
件的公共码率R0可以得到次优的保密条件，基于此
3 个推论得到定理2。
推论1 Gray-Wyner系统(R0,R1,R2)∈G-W，当
满足S1－V－S2时，则0 1 2 1 2 R + R + R = H(S , S )。
证明 显然联合熵1 2 H(S , S )代表信源S1和S2
的最佳压缩率。
由Gray-Wyner 系统定义式(7)可得
0 1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2
1 2 1 2
( , ; ) ( | ) ( | )
( ; ) ( ; | ) ( | ) ( | )
( ) ( ; | ) ( | )
R R R I S S V H S V H S V
I S V I S V S H S V H S V
H S I S V S H S V
+ + + +
= + + +
= + +
≥
(8)
又因为S1−V−S2，则有
2 2 1 H(S |V ) = H(S | S ,V )
2 1 2
2 1 2 1 2 2 1
( ; | ) ( | )
( | ) ( | , ) ( | ) ( | )
I S V S H S V
H S S H S V S H S V H S S
+
= − + ＝
所以有
1 2 1 2 2 1 I (S , S ;V ) + H(S |V ) + H(S |V ) = H(S , S ) (9)
0 1 2 1 2 R + R + R ≥H(S , S )
当不等式取等号时，即得推论1。
推论2 Gray-Wyner系统(R0,R1,R2)∈G-W，最
大公共信息速率R0满足2R0+R1+R2=H(S1)+H(S2)，
则max R0=I(S1;S2)。
证明 由Gray-Wyner 系统定义式(7)可得
0 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 1
2 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
2
2 ( , ; ) ( | ) ( | )
( ; ) ( ; | ) ( ; )
( ; | ) ( | ) ( | )
( ) ( | ) ( ; | )
( ) ( | ) ( ; | )
( | ) ( | )
( ) ( ; | ) ( ) ( ; | )
R R R
I S S V H S V H S V
I S V I S V S I S V
I S V S H S V H S V
H S H S V I S V S
H S H S V I S V S
H S V H S V
H S I S V S H S I S V S
+ +
+ +
= + + +
+ +
= − + +
− + +
+
= + + +
≥
(10)
令2 1 I (S ;V | S ) = 0和 1 2 I (S ;V | S ) = 0，当且仅当
S1、S2、V同时满足Markov链
S2−S1−V和S1−S2−V
并由此会有如下不等式和等式。
2R0+R1+R2≥H(S1)+H(S2)
2 1 1 2
1 2 2 1
, 1 2
1 2 1 2
max ( , ; )
max ( ; ) max ( ; ) ( ; ) (11)
S S V S S V
S S V S S V
I S S V
I S V I S V I S S
− − − −
− − − −
= = =
以上过程均满足可逆性，即存在一反向结论：当
(R0,R1,R2)∈G-W且I(S1;S2)=R0时，有
S2−S1−V，S1−S2−V (12)
进一步会得到
2R0+R1+R2=H(S1)+H(S2)
推论3 当定理1 中的S1和S2的公共信息等于
两者之间的互信息，并满足
1 1 0 1 2 2 0 1
2 2 0 2 1 1 0 2
( ; | ) ( ; , | ) ( | )
( ; | ) ( ; , | ) ( | )
I U Y U I U Y U U H S V
I U Y U I U Y U U H S V
−
−
≥
≥
·22· 通 信 学 报 第34 卷
则相关信源传输可达到部分绝对保密，即
1 1 2 ( | ) S C = H S S ，
2 2 1 ( | ) S C = H S S
证明 公共信息的大小会直接影响疑义度，显
然由于公共信息可被任意接收用户所识别，而公共
信息又与信源S1和S2相关，会引发信息泄露。所以
从安全性的角度考虑，本文期望公共信息尽量地
小，同时还要满足Markov约束条件S1−V−S2。后者
约束条件保证了接收用户在得到公共信息之后，不
能够利用已知信源（如S1）信息再获取不同于公共
信息的有关另一信源（如S2）的信息。从安全性的
角度来看，推论3 所设置的约束条件是在定理1 的
基础上，尽可能地减少了公共信息量，从而获得更
高水平的安全性。
根据定理1 和推论2，得到Markov 链
S1−V−S2，S2−S1−V，S1−S2−V
再根据数据处理不等式，由S1−V−S2得到
2 2 1 H(S |V )≤H(S | S )， 1 1 2 H(S |V )≤H(S | S )
由S2−S1−V得到
2 2 1 H(S |V )≥H(S | S )
由S1−S2−V得到
1 1 2 H(S |V )≥H(S | S )
故有
2 1 2 H(S | S ) = H(S |V )， 1 2 1 H(S | S ) = H(S |V ) (13)
定理2 在定理1 中，当I(S1,S2;V)=I(S1;S2)时，
则1退化为2。
1 2 0 1 0 2
1 1 1 0 0 1 0 2
2 2 2 0 0 1 0 2
2
( ; ) min{ ( ; ), ( ; )} (a)
( ) ( ; | ) min{ ( ; ), ( ; )} (b)
( ) ( ; | ) min{ ( ; ), ( ; )}
I S S I U Y I U Y
H S I U Y U I U Y I U Y
H S I U Y U I U Y I U Y
<
< +
< +
=

1
2
1 2 1 1 0 2 2 0 1 2 0 0 1 0 2
1 1 0 1 2 2 0 1 2
2 2 0 2 1 1 0 2
(c)
( , ) ( ; | ) ( ; | ) ( ; | ) min{ ( ; ), ( ; )} (d)
min{ ( ; | ) ( ; , | ), ( | )} (e)
min{ ( ; | ) ( ; , | ), ( |
S
S
H S S I U Y U I U Y U I U U U I U Y I U Y
E I U Y U I U Y U U H S S
E I U Y U I U Y U U H S S
< + − +
−
−
≤
≤
1 2 2 1 1 2
0 1 2 1 2
, ,
1 )} (f )
S V S S S V S S V
U U U X Y Y
− − − − − −
− − −
 
 
 
 
 
 
 
 
 

(14)
证明
根据推论1~推论3，有如下结论
1 2 1
1 2 1 1
1 1
1 1 1 1
( , ; ) ( | )
( ; ) ( ; | ) ( | )
( ; ) ( | )
( ) ( | ) ( | ) ( )
I S S V H S V
I S V I S V S H S V
I S V H S V
H S H S V H S V H S
+
= + +
= +
= − + =
(15)
同理可得
1 2 2 2 I (S , S ;V ) + H(S |V ) = H(S ) (16)
综合式(9)、式(13)、式(15)、式(16)，得到不等式组
式(14)，定理2 得证。
相比较定理1，定理2 得到允许信源区域2的
信源压缩界（不等式(14a)~不等式(14d)的左半部）
是最优的，并且满足推论3 中相关信源传输可达到
部分绝对保密的条件。
3.3 退化信源集
定理3 信源S1和S2经广播信道发送给译码器
1，同时只将S1发送给译码器2，称该系统为具有退
化信源集[17]的广播信道，满足可靠性和安全性传输
的充分必要条件为
0 1 1 2
1
2 0 1 0 2
1 2 1 1 0
3 0 1 0 2
1 1 0
1 2 0 1 2
( ) min{ ( ; ), ( ; )}
( , ) ( ; | )
min{ ( ; ), ( ; )}
min{ ( ; | )
( ; | ), ( | )}
U U X Y Y
S
H S I U Y I U Y
H S S I U Y U
I U Y I U Y
E I U Y U
I U Y U H S S
− − −
 < 
 
 < + 
=    
 −   
 

≤
 (17)
证明 见附录B。
充分必要条件所确定的区域3为最优允许信
源区域，此时分离信源信道编码为最优码。当满足
I(U1;Y1|U0)−I(U1;Y2|U0)≥H(S1|S2)时，此时系统可
以做到对S1“部分绝对保密”。
当不考虑信源编码仅对信道来说，系统简化为
具有一个公共消息W0和一个秘密消息W1的广播信
道，W0和W1的熵分别为nH(S2)和nH(S2|S1)。3退
化为Csiszár和Körner的容量——疑义度界[2]。
0 1 1 2
0 0 1 0 2
0 1 1 1 0
0 1 0 2
1 1 0 1 2 0
min{ ( ; ), ( ; )} (a)
( ; | )
min{ ( ; ), ( ; )} (b)
( ; | ) ( ; | ) (c)
C K
U U X Y Y
e
R I U Y I U Y
R R I U Y U
I U Y I U Y
R I U Y U I U Y U
−
− − −
=
 
 + < +   
 
 
 − 
≤
≤


(18)
第10 期 郎非等：基于分离信源信道码的相关信源在有噪广播信道下的可靠和安全传输 ·23·
3.4 More capable 广播信道
定理4 对于广播信道p(y1,y2|x)，假设Y1的能
力大于Y2的能力，即对于所有输入分布p(x)，都有
I(X;Y1)≥I(X;Y2)，则称该信道为more capable广播信
道[23]，相关信源S1和S2在该信道上满足可靠性和安
全性传输的充分必要条件：
1
1 2 1
1 2 1 2
4 2 2
( , )
1 2
1 2
( , ) ( ; )
( , ) ( ; | ) ( ; )
( ) ( ; )
min{ ( ; | ) ( ; | ),
( | )}

p u x
S
H S S I X Y
H S S I X Y U I U Y
H S I U Y
E I X Y U I X Y U
H S S
 < 
 
 < + 
=  <   
 < −   
 
 (19)
证明
首先给出定理3 的另外一种等价表达形式。
0 1 1 2
1
1 2 1 1
1 2 1 1 0 0 2
3 2 0 2
,
1 1 0
1 2 0 1 2
( , ) ( ; ) (a)
( , ) ( ; | ) ( ; ) (b)
' ( ) ( ; ) (c)
min{ ( ; | )
( ; | ), ( | )} (d)
U U X Y Y
S
H S S I U Y
H S S I U Y U I U Y
H S I U Y
E I U Y U
I U Y U H S S
− − −
 < 
 
 < + 
=  <   
 −   
 
≤
 
(20)
注释 '3仍是充分必要条件，并且在不考虑安
全的情况下，用(R0,R1)替换不等式组(20a)~不等式
组(20c)的左半部的压缩界，则'3退化为具有退化消
息集或more capable广播信道的一个容量界[23]。这
里由于篇幅限制，不再对'3进行证明。
充分性 将不等组(20)中U替换U0，X替换U1，
即得不等式组(19)。
必要性 只需证明不等组(20)中的信道外界
（不等式右侧）都不大于不等式组(19)右侧的互信
息表达式，则4也是一个外界。
当满足'3中0 1 1 2 U →U → X →(Y ;Y )和定理 4
中1 2 I (X;Y ) > I (X;Y )的条件时，则有
1 1 1 I (U ;Y )≤I (X;Y ) (21)
1 1 0 1 0 I (U ;Y |U )≤I (X;Y |U )
1 1 1 0 0 2 1 1 0 0 I (X;Y |U = u ,U = u ) > I (X;Y |U = u ,U = u )
进一步会有
1 1 0 0 2 1 0 0 2 I (U ;Y |U ) + I (U ;Y )≤I (X;Y |U ) + I (U ;Y ) (22)
1 1 0 2 1 0 I (X;Y |U ,U ) > I (X;Y |U ,U )
进一步考虑疑义度限制条件
1 1 0 1 2 0
1 1 0 1 1 0
1 2 0 2 1 0
1 1 0 1 2 0
1 0 2 0
1 2
( ; | ) ( ; | )
( ; | ) ( ; | , )
( ; | ) ( ; | , )
( ; | ) ( ; | )
( ; | ) ( ; | )
( ; | ) ( ; | )
I U Y U I U Y U
I U X Y U I X Y U U
I U X Y U I X Y U U
I U X Y U I U X Y U
I X Y U I X Y U
I X Y U I X Y U
−
= − −
+
< −
= −
= −
(23)
综合式(21)~式(23)，4是'3的一个外界，证毕。
在衡量广播信道p(y1 ,y2 |x)的Y1 和Y2 的能力
差异时，more capable是比较弱的约束条件，对
于较强的约束条件less noisy或退化关系时， 4
也成立。
4 结束语
本文研究相关信源在广播信道下可靠安全传
输的问题。基于分离信源信道码，得到了相关信
源在一般广播信道下可靠和安全传输的可达允许
信源区域的内界，并给出了达到信源信息部分绝
对保密的条件。当满足退化信源集或
I(X;Y1 )>I(X;Y2 )时，分别得到了可靠和安全传输的
最优限制条件，此时分离信源信道码为最优码，
香农信源信道分离定理依然成立。未来下一步的
任务可以结合如下工作：如采用联合信源信道编
码[18]，这会突破传统的编码结构，虽然会带来在
编码效率上的提升，但也会给安全传输带来挑战；
Tandon在文献[3]中讨论了在Gray-Wyner系统中
不同种类的公共信息对疑义度的影响；Villard在
文献[4]中提出了带边信息的有损单信源在窃听
信道中保密传输的问题。
附录A 定理1 证明
对充分性证明。对所用的信源信道编译策略码做简要描
述，分为如下几个步骤。
1) 信源编码器： 使用Gray-Wyner 码将双信源序列
1 2 (Sn ,Sn ) 映射成信源消息组 0 1 2 (M ,M ,M ) 。通过码率分别为
R0、R1、R2的三路无噪线路分别将M0、M1、M2发送到信
道编码器。
2) 信道编码器：将M0、M1、M2分别一一映射为信道
消息W0、W1、W2。再基于Xu等人的保密编码策略[10]对消
息进行信道编码，产生信道传输码字 xn 。
3) 接收端译码器1：利用接收序列1
Y n ，采用联合典型
译码规则完成对消息0 1 (W ,W )译码，并在此基础上最终完成
对1
Sn译码。同时要给出使得译码错误概率接近为 0 的限制
·24· 通 信 学 报 第34 卷
条件集。最后计算条件熵2 1 H(Sn | Y n )，即译码器 1 在接收到
序列1
Y n 之后对信源 2
Sn的不确定度。译码器 2 工作亦如此。
上述编码策略可看作由2 个环节组成：信源编译码与信
道编译码。其中，信道编码策略与Xu相似，只是本文删除
了如下限制条件[10]
1 1 1 0 1 2 2 0
2 2 2 0 2 1 1 0
( ; | ) ( ; , | )
( ; | ) ( ; , | )
R I U Y U I U Y U U
R I U Y U I U Y U U
− 

 −
≥
≥
(24)
即本文不再要求消息速率R1和R2一定要大于信道的安全容
量，这是因为在本文中信道消息速率还要受到信源编码的影
响。在信道编码环节中，对变量的使用称谓基本延续Xu在
文献[10]中的定义。
0
0 0 W ∈ = {1,,2nR } 作为信道传输的公共消息，
1
1 1 W ∈ = {1,,2nR }和 2
2 2 W ∈ = {1,,2nR }作为信道的私密
消息分别发送给译码器1 和译码器2。进一步将W1划分为
10
10 10 W ∈ = {1,,2nR }和 11
11 11 W ∈ = {1,,2nR }，W2划分为
20
20 20 W ∈ = {1,,2nR } 和 22
22 22 W ∈ = {1,,2nR } ，其中，
R1=R10＋R11，R2=R20＋R22，W10和W20指能够同时被译码
器1 和译码器2 进行消息译码。这种速率划分的目的是考虑
到当0 0 1 0 2 R < min{I (U ;Y ), I (U ;Y )}，公共消息的传输不能充分
地利用公共信道，故将W10和W20也作为公共消息借助于该
信道进行传输。说明：这里的公共信道或私人信道是一种逻
辑上的表达，实际上都是同一物理信道；与Xu不同的是，
本文还将讨论10和20为空集时的情况。
1) 随机码生成
① 信源码字：固定某一输入分布1 2 p(v | s , s ) 。随机生
成2nR0 个码字 0 vn (m )， 0
0 m ∈{1,,2nR }，码字由独立同分布
的n个字母V构成，V服从分布 p(v)；均匀地将含有 1
Sn序列
集合等分割成 2nR1 个小舱（记为bin），bin的下标为m1，
1
1 m ∈{1,,2nR } ；相似地均匀地将 2
Sn 序列等分割成 2nR2 个
bin，bin的下标为m2， 2
2 m ∈{1,,2nR }。
(R0,R1,R2)∈G-W（见式(7)）且满足Markov链 S1－V
－S2，易知消息M0、M1、M2互相独立。
② 信道码字：固定某一信道输入分布0 1 0 p(u ) p(u | u ) ⋅
2 0 p(u | u ) 1 2 p(x | u ,u ) 。首先做如下定义：
11 1 1 0 1 2 2 0
12 1 2 2 0
21 2 2 0 2 1 1 0
22 2 1 1 0
3 1 2 0
( ; | ) ( ; , | )
( ; | , )
( ; | ) ( ; , | )
( ; | , )
( ; | )
L I U Y U I U Y U U
L I U Y U U
L I U Y U I U Y U U
L I U Y U U
L I U U U
= − 
 =  = − 
 = 
 =
(25)
随机生成2n(R10 +R20 +R0 ) 个码字 0 10 20 0 un (w ,w ,w )，码字由独立同
分布的n个字母U0构成，U0服从分布0 p(u )。然后针对每一
个0
un 生成 2n(L11 +L12 +L3 ) 个码字 1 un (i,i′,i′′) ， i∈{1,,2nL11} ，
i′∈{1,,2nL12 }，i′′∈{1,,2nL3}，码字由独立同分布的n个字
母U1构成，U1服从分布1 0 p(u | u )；相似地生成2n(L21 +L22 +L3 ) 个
码字2 un ( j, j′, j′′) ， j∈{1,,2nL21} ， j′∈{1,,2nL22 } ，
j′′∈{1,,2nL3}，码字由独立同分布的n个字母U2生成，U2
服从分布2 0 p(u | u )。对码字索引(i,i′,i′′) 和( j, j′, j′′) 可通过
“binning”技术来解释。例如，可以随机地将1
un 放置到2nL11
个bin中，每个bin由i进行标识，记作bin(i)；进一步把bin(i)
划分成2nL12 个sub-bin， 1
un 被随机划分到其中一个sub-bin中，
记为sub-bin(i')。i''则是1
un sub-bin(i')中的随机序号。Liu把这
一编码技术称为“double-binning”[9]，如表1 所示。
2) 编码
① 信源编码：给定双信源序列1 2 1 2 (sn , sn ) T n (S S ) ε ∈ 。编
码器0 寻找一序列0 vn (m )满足
( )
0 1 2 1 2 (vn (m ), sn , sn ) T n (VS S ) ε ∈ (26)
编码器0 再将消息m0发送给信道编码器。编码器1 根
据要发送的信源序列1
sn ，选择其所在bin，将bin的下标m1
发送给信道编码器。同理编码器2 将2
sn 所在bin的下标m2
发送给信道编码器。
② 信道编码：定义3 个一一映射函数0 1 2 g , g , g ，其逆
映射为1 1 1
0 1 2 g− , g− , g− 。
0
0 0 0 W = g (M )∈{1,,2nR }， 1
1 2 1 W = g (M )∈{1,,2nR }，
2
2 2 2 W = g (M )∈{1,,2nR }
信道编码器根据信源编码器发送过来的消息m0、m1、
m2，分别经过函数g0、g1、g2映射，得到信道消息w0、w1、
w2，再经过消息划分得到w0、w11、w10、w22、w20。由此，
可以首先得到0 10 20 0 un (w ,w ,w ) ，然后从 2n(L11 +L12 +L3 ) 个码字
表1 double-binning
sub-bin(1) … sub-bin(i') … sub-bin( 2nL12 ) bin
1 un (1,1,1) … 3
1 un (1,1,2nL ) … 1 un (1,i ',1) … 3
1 un (1,i ', 2nL ) … 12
1 un (1,2nL ,1) … 12 3
1 un (1, 2nL , 2nL ) bin(1)
1 un (i,1,1) … 3
1 un (i,1,2nL ) … 1 un (i,i ',1) … 3
1 un (i,i ', 2nL ) … 12
1 un (i, 2nL ,1) … 12 3
1 un (i, 2nL , 2nL ) bin(i)
     
11
1 un (2nL ,1,1) … 11 3
1 un (2nL ,1,2nL ) … 11
1 un (2nL ,i ',1) … 11 3
1 un (2nL ,i ', 2nL ) … 11 12
1 un (2nL ,2nL ,1) … 11 12 3
1 un (2nL , 2nL , 2nL ) bin( 2nL11 )
第10 期 郎非等：基于分离信源信道码的相关信源在有噪广播信道下的可靠和安全传输 ·25·
1 un (i,i′,i′′)中挑选一个码字用来传输w11。码字 1 un (i,i′,i′′)的确
定分为3 种情况，其中，后2 种情况采用和Xu[10]一样的方式。
a) R11< L11。2nL11 个bin被均匀地划分为2nR11 个cell，每
个w1对应一个cell。cell(w1)中有bin的数量为2n(L11 −R11 ) ，随机
挑选一个bin (i)。再从bin(i)的2n(L12 +L3 )个码字中随机地挑选
一个1 un (i,i′,i′′)。
b) L11≤R11≤L11＋L12。每个bin含有消息w1的个数为
2n(R11 −L11 ) ，把 2nL12 个sub-bin放入到 2n(R11 −L11 ) 个cell中，从
cell(w1)中随机挑选一个sub-bin，再从此sub-bin中随机挑选
一个1 un (i,i′,i′′)。
c) L11＋L12 I (S ,S ;V ) (31)
根据式(27)，信道编码器会以错误概率接近于0 的可能
性找到一对消息(i',i'')，只要满足
1 1 0 11 2 2 0 22 1 2 0 I (U ;Y |U ) − R + I (U ;Y |U ) − R ≥I (U ;U |U ) (32)
根据式(28)，译码器1 以错误概率接近于0 的可能性找
到唯一一组0 10 20 (w ,w ,w ) ，只要满足
0 10 20 0 2 R + R + R ≤I (U ;Y ) (33)
根据信道码字的定义式(25)可以得到
11 12 3 1 1 0 L + L + L < I (U ;Y |U ) (34)
进一步根据式(29)、式(34)，译码器1 以错误概率接近
于 0 的可能性找到唯一一组(i,i′,i′′) 。由此
11 1 1 0 R < I (U ;Y |U ) (35)
进一步可以有无差错译码 (i,i′,i′′) →w11→(w0,w1)→
(m0,m1)。
由信源编码可知，典型集势 ( 1 )
1 | T n (S ) | 2nH S ε = ，用来划分
1
Sn 的bin个数为 2nR1 ，故每一个bin中序列 1
sn 的个数为
2n(H (S1 )−R1 )。由Gray-Wyner系统的可达域G-W(见不等式组(7))
可知
1 1 R > H(S |V ) (36)
则有
2n(H (S1 )−R1 ) < 2n(H (S1 )−H (S1 |V )) = 2nI (S1 ;V )
由引理2、式(30)和式(36)可知，译码器1 会以错误概率
接近于0 的可能性找到唯一1
sn 。
5) 疑义度计算
(a )
1 2 1 1 0 2 1 1 0 2
(b) (c)
1 1 0 2 1 0 2
(d) (e)
1 0 2 1 2
( | ) ( | ) ( ; | )
0 ( ; | ) ( | )
( | ) ( | )
n n n n n n
n n n
n n
H S Y H S M M Y I S M M Y
I S M M Y H M M Y
H WW Y H W Y
= +
= + =
= =
(37)
对式(37)中步骤(a)～步骤(e)做如下解释。
步骤(a) 将疑义度拆分为两项，前项是信源编码带来
的疑义度，后项是信道传输带来的疑义度。
步骤(b) 根据编码规则二元消息组(M1,M0)完全可以
确定1
Sn。
步骤(c) 根据 2
Y n 可译出 2
Sn，那么通过某一确定性映射
函数可以将1 2 (Sn ,Sn ) 映射为 0 1 (M ,M )。
步骤(d) 由一一映射 0 0 0 W = g (M )， 1 2 1 W = g (M )。
步骤(e) 公共信息W0可被任意接收者所译码，因此对
疑义度不产生影响。
情况1 当 1 1 1 0 1 2 2 0 H(S |V ) > I (U ;Y |U ) − I (U ;Y ,U |U ) ，
即R1>L11。
1 2 11 10 2 0 11 2
(a )
1 1 0 1 2 2 0
( | ) ( , | , ) ( | )
( ( ; | ) ( ; , | ))
H W Y n H W W Y n Un H W Y n
n I U Y U I U Y U U
= =
= −
(38)
步骤(38a)直接使用了Xu[10]的证明结果。由疑义度定义式(2)
可得
1 1 1 0 1 2 2 0 ( ; | ) ( ; , | ) S E ≤I U Y U − I U Y U U (39)
情况2 当 1 1 1 0 1 2 2 0 H(S |V )≤I (U ;Y |U ) − I (U ;Y ,U |U )，
·26· 通 信 学 报 第34 卷
即R1≤L11。此时消息w1在广播信道中传输可以保证绝对安
全。也就是说，译码器2 通过无线信道无法知道关于w1的
任何信息，但是这不等于1
Sn绝对安全，因为译码器 2 可以
通过对序列2
yn的译码得到公共消息M0，M0含有1
Sn的信息。
另一方面，由Markov链S1−V−S2可以推出M1和M0是独立
的，由此M1是绝对安全，因此有
1 2 1 1 H(W | Y n ) = H(W ) = nH(S |V )
1 1 ( | ) S E ≤H S V (40)
同理，在译码器2 上的错误率分析和疑义度计算中，作
者可以得到与译码器1 对称的结果。
22 2 2 0 R < I (U ;Y |U ) (41)
2 2 2 0 2 1 1 0 2 min[ ( ; | ) ( ; , | ), ( | )] S E ≤ I U Y U − I U Y U U H S V (42)
综合式(31)~式(36)和式(38)~式(42)，得到1。
附录B 定理3 证明
充分性证明：要求在定理1 的不等式组中V=S2，去掉
U2即得定理3。
必要性证明：首先考虑有一个(2nH (S2 ) ,2nH (S1 |S2 ) ,n) 码可使得
n 长分组序列的译码错误率为 (n)
e P 。在1 2 1 2
n × n ×n ×n ×n
上的概率分布为
1 2 1 2 1 2
1
( , ) ( | , ) ( , | )
n
n n n n n
i i i
i
p s s p x s s p y y x
= Π
(43)
根据费诺不等式(引理 3)，再由(2nH (S2 ) ,2nH (S1 |S2 ) ,n) 码映
射为消息的数目为M0个数为2nH (S2 )，M1个数为2nH (S1 |S2 )，则
有如下不等式
( )
2 1 0 1 2 ( n | n ) ( | n ) 1 n ( )
e n H S Y = H M Y ≤ + P nH S = nε (44)
( )
2 2 0 2 2 ( n | n ) ( | n ) 1 n ( )
e n H S Y = H M Y ≤ + P nH S = nε (45)
( )
1 1 2 1 1 0 1 2 ( n | n , n ) ( | n , ) 1 n ( | )
e n H S Y S = H M Y M ≤ + P nH S S = nε (46)
定义辅助变量1
0 1 2, 1 2 ( i , n , n )
i i U Y − Y S
+ = ， 1 1
n
i U = S ，且满足
Markov 链
0 1 1 2 ( , ) i i i i i U →U → X → Y Y
1) 允许信源区域外界计算
1 2
(a )
1 2
1 2 2
1 1 2 1 1 2
2 1 2 1 2 2 2 2
(b)
1 1 2 2 1 2 2
1
1 1 1 2
1
( , )
( , )
( | ) ( )
( ; | ) ( | , )
min{ ( ; ) ( | ), ( ; ) ( | )}
( ; | ) min{ ( ; ), ( ; )} 2
( ; | , )
n n
n n n
n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n
n
n
n i n
i
i
nH S S
H S S
H S S H S
I S Y S H S Y S
I S Y H S Y I S Y H S Y
I S Y S I S Y I S Y n
I S Y Y S
ε
−
=
=
= +
= + +
+ +
+ +
=Σ +
≤
1
2 1 1 2 2 2, 1
1 1
min{ ( ; | ), ( ; | )} 2
n n
n i n n
i i i n
i i
I S Y Y − I S Y Y nε
+
= =
Σ Σ +
1
1 1 1 2
1
1
2 1 1 2 2, 1 2
1 1
1
1 1 1 2, 1 2
1
1 1
2 1 2, 1 1 2 1 2, 1 2
1 1
1 1 0
( ; | , )
min{ ( , ; ), ( , ; )} 2
( ; | , , )
min{ ( , , ; ), ( , , ; )} 2
( ; |
n
n i n
i
i
n n
n i n n
i i i n
i i
n
n i n n
i i
i
n n
n i n n i n
i i i i n
i i
i i i
I S Y Y S
I S Y Y I S Y Y n
I S Y Y Y S
I S Y Y Y I S Y Y Y n
I U Y U
ε
ε
−
=
−
+
= =
−
+
=
− −
+ +
= =
+
+
+
+
=
Σ
Σ Σ
Σ
Σ Σ
≤
≤
0 1 0 2
1 1 1
) min{ ( ; ), ( ; )} 2
n n n
i i i i n
i i i
I U Y I U Y nε
= = =
Σ + Σ Σ +
1 1 0 0 1 0 2 ( ; | ) min{ ( ; ), ( ; )} 2 n = nI U Y U + nI U Y nI U Y + nε (47)
步骤(47a)： 1 1,1 1,2 1, n ( , , , )
n S = S S  S ，当序列中每一个元
素之间都相互独立时等号成立；
步骤(47b)：应用费诺不等式性质(见式(44)~式(46))。
2) 疑义度外界计算
1 1 2
1 2 2 1 2 2
1 2 1 2 2 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2
1
1 1 2 1 1 2 2 2, 1
1
1
( | )
( | ) ( ; | )
( | ) ( ; | ) ( | )
( ; | ) ( ; | ) ( | ) ( | )
( ; | ) ( ; | ) 2
( ,
n n
S
n n n n n n
n n n n n n n
n n n n n n n n n n n
n
n n i n n n
i i i n
i
n
nE H S Y
H S S Y I S S Y
H S S I S Y S H S Y
I S Y S I S Y S H S Y S H S Y
I S Y S Y I S Y S Y n
I S Y
− ε
+
=
= +
+ +
+ + +
=  −  +
=
Σ
≤
≤
≤
1 1
2, 1 1 2 1 1 1 2 2 2, 1
1
1 1
1 1 2 1 2, 1 1 2 2 2, 1 1
1
; | ) ( , ; | ) 2
( ; | ) ( ; | ) 2
n
n n i n i n n
i i i i n
i
n
n n i n n n n i
i i i i n
i
Y S Y I S Y Y S Y n
I S Y S Y Y I S Y S Y Y n
ε
ε
− −
+ +
=
− −
+ +
=
 −  +
=  −  +
Σ
Σ
1 1 0 1 2 0
1
( ; | ) ( ; | ) 2
n
i i i i i i n
i
I U Y U I U Y U nε
=
=Σ −  + (48)
同时
1 1 2
1 2 2 1 2 2
1 2 2 2 2
1 2
1 2
1
( | )
( | , ) ( ; | )
( | , ) ( | )
( | )
( | )
n n
S
n n n n n n
n n n n n
n n
n
n
i i n
i
nE H S Y
H S Y S I S S Y
H S Y S H S Y
H S S n
H S S n
ε
ε
=
= +
+
+
=Σ +
≤
≤
≤
(49)
综合式(47)、式(48)和式(49)，即得3。定理3 证毕。
参考文献：
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作者简介：
王保云（1967-），男，河南信阳人，南京邮电大学教
授、博士生导师，主要研究方向为香农信息论、无线通信中
的博弈与协作、无线通信中的信号处理技术、视频信息的分
析与理解等。
邓志祥（1980-），男，江苏南通人，南京邮电大学博
士生，主要研究方向为无线通信网络与香农信息理论。
郎非（1977-），男，吉林长春人，南
京邮电大学博士生，主要研究方向为无线
通信网络与香农信息理论。</ε></ε>

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