王广亮
中国石化安全工程研究院，青岛266071
3故障树定性分析
    故障树分析，包括定性分析和定量分析两种方法。在定性分析中，主要包括最小割集、最小径集和重要度分析。限于篇幅，以下仅介绍定性分析中的最小割集和最小径集。
3．1最小割集及其求法
    割集：它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。最小割集就是引起顶上事件发生必须的最低限度的割集。最小割集的求取方法有行列式法、布尔代数法等。现在，已有计算机软件求取最小割集和最小径集。以下简要介绍布尔代数化简法。图8—9为一故障树图，以下是用布尔代数化简的过程。
 
T=A1+A2
= X1 X2A3+X4A4
= X1X2(X1+X3)+X4(X5+X6)
= X1 X2A1+Xl X2A3+ X4X5+X4X6
= X1 X2+ X4X5+X4X6
所以最小割集为{X1，X2}，{X4，X5}，{X4，X6}。结果得到三个交集的并集，这三个交集就是三个最小割集El={Xl，X2}，E2={X4，X5}，E 3：{X4，X6}。用最小割集表示故障树的等效图如图8—1O。
 
3．2最小径集及其求法
径集：如果故障树中某些基本事件不发生，则顶上事件就不发生，这些基本事件的集合称为径集。最小径集：就是顶上事件不发生所需的最低限度的径集。
最小径集的求法是利用它与最小割集的对偶性。首先作出与故障树对偶的成功树，即把原来故障树的与门换成或门，而或门换成与门，各类事件发生换成不发生，利用上述方法求出成功树的最小割集，再转化为故障树的最小径集。
例：将上例中故障树变为成功树用T’、A’l、A’2、A’3、A’4、X’l、X’2、X’3、X’4、X’5、X’6表示事件T、Al、A2 A3、A4、Xl、X2、X3X， 、X 、X 的补事件，即成功事件；逻辑门作相应转换，如图8—11。

用布尔代数化简法求成功树的最小割集：
T’= A’l ·A’2
= (X’l+A’3+X’2)·(X’4+A’4)
= (X’l+X’2+X’l X’3)·(X’4+X’5 X’6)
= (X’l+X’2)·(X’4+X’5X’6)
=X’lX’4+ X’lX’5X’6+X’2X’4+ X’2X’5X’6
成功树的最小割集：{X’。，X’ ){X’。，X’，，X’ )
{X’ ，X’ ){X’2，X’5，X’6)。
即故障树的最小径集：
Pl={Xl，X4) P2={XI，X5，X6)
P3={X2，X4) P4={X2，X5，X6)
如将成功树布尔化简的最后结果变换为故障树结构，则表达式为T=(Xl+x4)(xl+x5+x6)(x2+x4)(x2+X5+X6)形成了四个并集的交集，如用最小径集表示故障树则如图8一l2所示。

3．3最小割集和最小径集在故障树分析中的应用
(1)最小割集表示系统的危险性
求出最小割集可以掌握事故发生的各种可能，了解系统的危险性。
每个最小割集都是顶上事件发生的一种可能，有几个最小割集，顶上事件的发生就有几种可能，最小割集越多，系统越危险。
从最小割集能直观地、概略地看出，哪些事件发生最危险，哪些稍次，哪些可以忽略，以及如何采取措施，使事故发生概率下降。
例：共有三个最小割集{X1)、{X2，X3)、{X4，X5，X6，X7，X8)，如果各基本事件的发生概率都近似相等的话，一般地说，一个事件的割集比两个事件的割集容易发生，五事件割集发生的概率更小，完全可以忽略。
因此，为了提高系统的安全性，可采取技术、管理措施以便使少事件割集增加基本事件。就以上述三个最小割集的故障树为例。可以给一事件割集{X1)增加一个基本事件X ，例如：安装防护装置或采取隔离措施等，使新的割集为{X1、X9)。这样就能使整个系统的安全性提高若干倍，甚至几百倍。若不从少事件割集人手，采取的措施收效不大。
假设上述例中各事件概率都等于0．0l，即qI=q2 q3=q4 q5 q6=q7 q8 q9=0．01。
在未增加X 以前顶上事件发生的概率约为0．0101，而增加X9后概率近似为0．0002，使系统安全性提高了5O倍，在可靠性设计中常用的冗长技术就是这个道理。注意，以上是各事件概率相等时采取的措施。采取防灾措施必须考虑概率因素，若X，的发生概率极小，就不必考虑{X1)了。
(2)最小径集表示系统的安全性
求出最小径集可以了解到，要使顶上事件不发生有几种可能的方案，从而为控制事故提供依据。一个最小径集中的基本事件都不发生，就可使顶上事件不发生。故障树中最小径集越多，系统就越安全。
从用最小径集表示的故障树等效图可以看出，只要控制一个最小径集不发生，顶上事件就不发生，所以可以选择控制事故的最佳方案，一般地说，对少事件最小径集加以控制较为有利。
(3)利用最小割集、最小径集进行结构重要度分析。
(4)利用最小割集、最小径集进行定量分析和计算顶上事件的概率等。